Occhi blu

Due vecchi dipendenti Telecom, un progettista e un commerciale, si ritrovano dopo molti anni nell'anticamera di uno psichiatra, e discorrono per un po. Il primo fa: "Allora hai tre figli? E quanti anni hanno?" L'altro risponde: "Considerando le loro età come numeri interi, il loro prodotto è 36, e la somma è il numero di RASP che ti ho mandato e che sono rimasti lettera morta". Il primo ci pensa un po e sbotta: "Beh, non mi hai certo dato dei dati sufficienti!" e il secondo ribatte: "Hai ragione: il maggiore ha gli occhi blu". Quali sono le età dei tre figli?

Il mistero dei tre cappelli

Era, naturalmente, una notte buia e tempestosa. In un antico maniero, da molti secoli adibito a prigione, tre detenuti - tra i quali un cieco - vennero portati di fronte al direttore, un uomo dotato di una smisurata crudeltà e di uno sconfinato amore per la logica.
"Vi propongo un gioco", disse il direttore ai tre attoniti prigionieri. "In questa scatola vi sono cinque cappelli, tre rossi e due bianchi. Ora ne estrarrò tre a caso, e ve li metterò in testa. Ognuno potrà vedere il cappello degli altri (qui sogguardò maliziosamente il cieco, che non osò protestare) ma non il proprio. Chi saprà indovinare il colore del proprio cappello avrà salva la vita. Se sbaglierà, verrà murato vivo nelle segrete, e lasciato lì a morire." Pronunciò queste ultime parole con evidente soddisfazione, e i tre di fronte a lui poterono sentire distintamente il putrido sentore delle segrete e il sordo rumore dell'ultimo mattone che li imprigionava per l'eternità.
"Comincia tu, Drighignazzo: di che colore è il tuo cappello?". Ma Drighignazzo, dopo aver osservato attentamente i suoi due compagni, scosse la testa. Non se la sentiva di rischiare.
"Allora tu, Rubicante. Bianco o Rosso?". Ma Anche Rubicante era incerto. Abbassò la testa in silenzio.
"Speravo foste più audaci, amici miei. Ma, come logico, non so darvi torto. Secondino, riaccompagnali alle loro stanze."
"Veramente..." la voce del cieco era sottile ma decisa "io so di che colore è il mio cappello."
Il Direttore lo guardò stupito. "Sei certo, Tiresia? Il rischio è grande. Pensaci bene."
"Proprio perché ho pensato, sono certo. Il mio cappello è ..." e disse il colore. Ed era il colore giusto.
Il Direttore restò in silenzio qualche istante. Poi, volgendosi verso di te, disse: "Allora, amico mio, di che colore è il cappello del cieco? E, soprattutto, come fa a essere così sicuro? Attento però: il rischio, anche per te, è grande."

Per risolvere il mistero si ragiona "ricorsivamente", in questo modo:

se Drighignazzo avesse visto due cappelli bianchi, avrebbe risposto trionfalmente "Rosso!".
Drighignazzo però tace. Possiamo dedurne che non ha visto due cappelli bianchi (se p allora q equivale a non-q allora non-p).

Stesso discorso per Rubicante. Nemmeno lui vede due cappelli bianchi.

Qui bisogna fare un salto di livello.
Rubicante sa che Drighignazzo  non ha visto due cappelli bianchi, perché anche lui ragiona come stiamo ragionando noi (Rubicante è oggetto del problema. ma anche soggetto del problema, cioè aspirante risolutore; sono queste le situazioni più interessanti).

A questo punto entra in gioco Tiresia, che non vede ma non ne ha bisogno.
Se Rubicante avesse visto sulla mia testa un cappello bianco, pensa Tiresia, e sapendo che Drighignazzo  non ha visto due cappelli bianchi, avrebbe immediatamente concluso che sulla sua testa c'era un cappello rosso. Avrebbe urlato trionfalmente "Rosso!".
Ma ciò non è accaduto.
Quindi Rubicante non ha visto sulla mia testa un cappello bianco. Quindi, con un sospiro e un sorriso, il mio cappello è rosso.

Va notato che anche se Drighignazzo  potesse parlare una seconda volta, prima di Tiresia... non saprebbe che dire.

PROPOSITIO DE LUPO ET CAPRA ET FASCICULO CAULI.

Homo quidam debebat ultra fluvium transferre lupum et capram et fasciculum cauli, et non potuit aliam navem invenire, nisi quae duos tantum ex ipsis ferre valebat. Praeceptum itaque ei fuerat, ut omnia haec ultra omnino illaesa transferret. Dicat, qui potest, quomodo eos illaesos ultra transferre potuit.

SOLUTIO
Simili namque tenore ducerem prius capram et dimitterem foris lupum et caulum. Tum deinde venirem lupumque ultra transferrem, lupoque foras misso rursus capram navi receptam ultra reducerem, capraque foras missa caulum transveherem ultra, atque iterum remigassem, capramque assumptam ultra duxissem. Sicque faciente facta erit remigatio salubris absque voragine lacerationis.

Alcuino di York, vissuto nel 900 circa.

Il dilemma di Monthy Hall

Nel libro "Lo strano caso del cane ucciso a mezzanotte" di Mark Haddon, Einaudi, dove l'io narrante è un ragazzo quindicenne, Christopher, affetto dalla sindrome di Asperger (una forma di autismo), che non riesce ad avere rapporti affettivi "normali" ma è straordinariamente bravo in la matematica e logica (oltre che in astronomia). Il romanzo non è in effetti un giallo ma una descrizione molto bella della mente di Christopher, delle sue paure e del suo amore per le strutture logico-matematiche (gli piacciono in particolare i numeri primi, perché sono irriducibili "I numeri primi sono ciò che rimane una volta eliminati tutti gli schemi: penso che i numeri primi siano come la vita. Sono molto logici ma non si riesce mai a scoprirne le regole, anche se si passa tutto il tempo a pensarci su"). Il libro (che tra l'altro è molto bello, ve lo consiglio) è ricco di riferimenti alla matematica, e in particolare nelle pagine 78, 79 e 80 il protagonista racconta:

"In una rivista americana che si chiamava "Parade" una volta c'era una rubrica fissa dal titolo "Chiedi a Marilyn". Era diretta da una certa Marilyn von Savant che si diceva avesse il più alto Quoziente d'Intelligenza al mondo, come veniva riportato nel volume del Guinness dei primati.
In questa rubrica rispondeva a quesiti di matematica inviati dai lettori.
Nel settembre del 1990 il signor Craig F. Whitaker di Columbia, Maryland, le spedì questo quesito...:

Un uomo partecipa a un quiz televisivo. Può vincere un'auto. Il presentatore gli mostra tre porte. Dice che dietro a una delle porte c'è l'auto in palio, mentre dietro alle altre due ci sono delle capre. Gli chiede di sceglierne una.
Quella che ha indicato non viene aperta. Il presentatore invece apre una delle porte che il concorrente non ha scelto e mostra una capra (poiché lui sa cosa sta dietro a ognuna delle porte).
A quel punto gli dà un'ultima possibilità prima che si spalanchino tutte le porte e vinca un auto o una capra. Infine domanda se vuole cambiare idea e scegliere una delle porte ancora chiuse.
Che cosa gli suggerisce di fare?

Marilyn vos Savant rispose che bisognava sempre cambiare e scegliere la porta finale perché ci sono due possibilità su tre che ci sia un'auto dietro quella porta.
Ma se si usa l'intuito verrebbe da pensare che le possibilità che a ognuna delle due porte si trovi l'auto siano identiche, 50 a 50.
Molti scrissero alla rivista dicendo che Marilyn vos Savant aveva torto... il 92% delle lettere sostenevano che si era sbagliata, e molte provenivano da matematici e scienziati!"

Apparentemente la risposta di Marilyn sembra sbagliata: il fatto che il presentatore apra una porta non scelta non influenza quello che c'è dietro la porta rimasta chiusa, per cui le probabilità di indovinare non variano sia che si modifichi la scelta originaria sia che non la si modifichi, ossia 1/3.
Ovvero: il fatto che il presentatore apra una porta, dopo che noi abbiamo scelto, non ci da nessun particolare motivo per cambiare la nostra scelta.
Possiamo mantenere la scelta fatta o cambiare porta; la probabilità di indovinare non cambia.

In  realtà non è così, se si analizza a fondo il problema. Christofer fornisce una dimostrazione probabilistica e una più intuitiva, rappresentata dal seguente disegno

da cui si evince che una volta fatta una scelta (con probabilità di indovinare 1/3) conviene cambiarla perché cosi la probabilità si inverte e diventa 2/3.

Per la verità a me non sembra la dimostrazione giusta, nel senso che si applica a qualunque scelta. E' abbastanza intuitivo che se si sceglie con possibilità di vincere pari a 1/3, se si potesse invertire la scelta si avrebbe possibilità di vincere pari a 2/3. Ma bisognerebbe scegliere due porte invece che una, perché in quel disegno nessuno ci dice quale tra le due porte non scelte la prima volta conviene scegliere.

Invece il dilemma di Monthy Hall è molto specifico e dipende dal fatto che in realtà il presentatore, aprendo una porta tra le due non scelte, ci dà delle informazioni aggiuntive, in quanto non la apre a caso (o meglio: non la apre a caso due volte su tre).

Vediamo:
Se il concorrente indovina la porta con la macchina (probabilità: 1/3) allora il presentatore sceglie a caso una delle due porte con la capra.
In questo caso (che si presenta, ribadiamo, una volta su tre), se il concorrente cambia perde.

Se il concorrente non indovina la porta con la macchina (probabilità: 2/3) allora il presentatore apre l'unica porta rimasta chiusa che nasconde la capra. Non apre a caso una delle due porte - se no il gioco finirebbe - ma sceglie la porta con la capra. In questo caso (che si verifica due volte su tre) il presentatore ci indica che la porta rimasta chiusa che lui non ha scelto è proprio quella con la macchina e quindi conviene cambiare.

Quindi: conviene cambiare 2 volte su 3, a causa della non casualità del comportamento del presentatore.

Ossia: la probabilità di vincere cambiando la porta scelta è 2/3. Ma questo perché il presentatore ci dà informazioni aggiuntive.

Questo risultato è comunque correttamente dimostrato da Cristopher nella formula di pag. 79, in cui pone la probabilità che il presentatore apra la porta z se la macchina sta dietro la porta y pari a 1 (ossia: è sicuro che il presentatore apre la porta dietro la quale non c'è la macchina).

Probabilmente per Christopher era sufficientemente chiaro così, e il grafico era un modo diverso per comunicarci la semplicità del ragionamento.

home